Pravda o Snehulienke a siedmich trpaslíkoch – riešenie

07. Máj, 2009, Autor článku: Benko Ján, Prírodné vedy
Ročník 2, číslo 5 This page as PDF Pridať príspevok

V predošlej časti sme sa dozvedeli do akých problémov sa Snehulienka dostala a ako ju Popolvár z toho vysekal. Keďže Popolvár tiež potrebuje naháňať publikácie, tak sa rozhodol zverejniť postup ako krásnu Snehulienku schladil.


Popolvár teda radí :

Jednoduchú následnú reakciu znázorňuje schéma (1). V tomto prípade sa obe reakcie riadia kinetikou prvého poriadku.

k1            k2

A\longrightarrow B\longrightarrow C                                                          (1)

k1, k2 sú príslušné rýchlostné konštanty

Úbytok koncentrácie látky A s časom vyjadruje rovnica (2).

-\frac{dc_A}{dt}=k_1*c_A                                                         (2)

Časovú závislosť koncentrácie medziproduktu (jedovatej látky B) vyjadruje rovnica (3)

\frac{dc_B}{dt}=k_1 * c_A - k_2 * c_B                                             (3)

Časovú závislosť prírastku koncentrácie konečného produktu vyjadruje rovnica (4)

\frac{dc_C}{dt}=k_2 * c_B                                                       (4)

rovnica (4) sa dá integrovať priamo, pričom dostaneme rovnicu (5)

c_A=c_{A0} * e ^{-k_1 * t}                                                  (5)

Riešením diferenciálnych rovníc (3) a (4) dostaneme rovnice (6) a (7), z ktorých sa dá priamo vypočítať koncentrácia medziproduktu B a konečného produktu C v ľubovoľnom čase. *

c_B=c_{A0}\frac{k_1}{k_2-k_1} (e ^{-k_1 * t}-e ^{-k_2 * t})                                 (6)

c_C=c_{A0} (1-\frac{k_2}{k_2-k_1}e ^{-k_1 * t} + \frac{k_1}{k_2-k_1}e ^{-k_2 * t})                       (7)

Čas, za ktorý dosiahne koncentrácia látky B maximum vypočítame z podmienky (8)

\frac{dc_B}{dt}=0                                                               (8)

Deriváciou rovnice (6) a jej úpravou dostaneme rovnicu (9), z ktorej sa dá vypočítať čas, keď koncentrácia látky B dosiahne maximum.

t_{max}=(ln \frac{k_1}{k_2})(k_1-k_2)^{-1}                                       (9)

Dosadením rovnice (9) do rovnice (6) dostaneme maximálnu koncentráciu, ktorú medziprodukt B dosiahne v priebehu následnej reakcie, rovnica (10)

c_{Bmax}=c_{A0}(\frac{k_1}{k_2})^{k_2/(k_2-k_1)}                                     (10)

Z rovníc (5) – (7) sa vypočítali koncentrácie časové závislosti úbytku koncentrácie východiskovej látky A, koncentrácie medziproduktu B a koncentrácie konečného produktu C pri rôznych teplotách, tieto sú znázornené na obr. 1 – 3.

Obr. 1. Závislosť koncentrácie východiskovej látky A od času pri rôznych teplotách:
(1 – 37oC ; 2 – 36oC ; 3 – 35oC ; 4 – 34oC ; 5 – 33oC ; 6 – 31.5oC)

Obr. 2. Závislosť koncentrácie medziproduktu B od času pri rôznych teplotách:
(1 – 37oC ; 2 – 36oC ; 3 – 35oC ; 4 – 34oC ; 5 – 33oC ; 6 – 31.5oC)

Obr. 3. Závislosť koncentrácie konečného produktu B od času pri rôznych teplotách:
(1 – 37oC ; 2 – 36oC ; 3 – 35oC ; 4 – 34oC ; 5 – 33oC ; 6 – 31.5oC)

Z obr. 2 vidno, že s klesajúcou teplotou klesá aj maximálna koncentrácia, ktorú dosiahne medziprodukt B v priebehu reakcie.

Tabuľka 1- Hodnoty rýchlostných konštánt, koncentrácie východiskovej látky A, maximálnej koncentrácie medziproduktu B a koncentrácie výsledného produktu C v čase tmax pri rôznych teplotách

T k1 k2 cA*104 cBmax*104 cC*104 tmax
[oC] [d-1] [d-1] [mol * dm-3] [mol * dm-3] [mol * dm-3] [d]
37.0 0.150 0.0300 1.34 6.69 1.97 13.4
36.5 0.137 0.0294 1.41 6.57 2.02 14.3
36.0 0.126 0.0289 1.48 6.46 2.06 15.2
35.5 0.116 0.0284 1.56 6.33 2.11 16.1
35.0 0.106 0.0278 1.64 6.20 2.16 17.2
34.5 0.0966 0.0273 1.72 6.08 2.20 18.2
34.0 0.0883 0.0268 1.80 5.95 2.25 19.4
33.5 0.0807 0.0263 1.89 5.82 2.29 20.6
33.0 0.0738 0.0258 1.99 5.69 2.31 21.9
32.5 0.0675 0.0253 2.08 5.55 2.37 23.3
32.0 0.0617 0.0248 2.18 5.42 2.40 24.7
31.5 0.0564 0.0243 2.28 5.28 2.44 26.2

 

Závislosť koncentrácie látky B od teploty a času ilustruje trojrozmerný graf (obr. 4.)

Obr. 4. Závislosť koncentrácie medziproduktu B od teploty a času

červená oblasť – koncentrácií látky B, kde je smrteľne jedovatá
oranžová oblasť – koncentrácií látky B kde môže dojsť k trvalému poškodeniu zdravia
žltá oblasť – koncentrácií, kde je látka B neškodná

*Podrobné riešenie rovníc (3) a (4) sa dá nájsť v každej učebnici fyzikálnej chémie napr. V. Kellö a A. Tkáč, Fyzikálna chémia, Alfa, Bratislava 1977

4 príspevky(ov) k článku “Pravda o Snehulienke a siedmich trpaslíkoch – riešenie”

  1. Red napísal:
    08. Máj, 2009 o 17:08

    Zaujímavý a jednoduchý spôsob riešenia.
    Ak teda môžem tak skúsim vysvetliť svoj spôsob výpočtu:
    Prvý bod: Vždy premieňať jednotky na základné (kJ = 1000 J), aby ste nespočitali blbosti ako ja…. :-)

    Druhý bod: Ak ste splnili prvý bod môžte začať počítať.

    Sú dané rýchlostné konštanty k1 a k2 pri teplote 37°C. Rýchlosť reakcie v závislosti na teplote vyjadruje Arheniova rovnica:
    k=kn*exp(-E/(RT))
    pomocou nej som vypočítal predexponenciálne faktory oboch reakcií:

    kn1 = 5,697*10^22
    kn2 = 3387

    Výpočet koncentračných profilov látok vychádza z numerického riešenia troch diferenciálny rovníc ako sú uvedené hore (2,3,4). Rovnice môžeme diskretizovať do tvaru:

    dCa/dt = (Ca(i+1)-Ca(i))/Δt = -k1.Ca(i) , kde Δt považujeme za infinitezimálny krok. Po úprave dostaneme:
    Ca(i+1) = Ca(i) – Δt * k1*Ca(i)
    a pre ostatné látky:
    Cb(i+1) = Cb(i) + Δt *(k1*Ca(i)-k2*Cb(i))

    Cc(i+1) = Cc(i) + Δt *k2*Cb(i)

    pričom rýchlostné konštanty sú vyjadrené Arheniovou rovnicou. Myslím, že je to Newtonova metóda…

    A k tomu počiatočné podmienky:
    v čase t = 0 je
    Ca = Ca0
    Cb = 0
    Cc = 0

    Toľko teórie….

    Zo zadania nieje jasné koľko látky A Snehulienke do tej kávy nasypala ….ale myslím, že to nie je potrebné vedieť ak sa spýtame:

    1, Koľko jej musí nasypať látky A do kávy aby sa pri teplote 37°C určite dosiahla smrteľná koncentrácia látky B = 0,00058 mol/l???

    iteračne som to spočítal na :
    Ca0 = 0,000869 mol/l

    Takže predpokladám, že aspon takúto koncentráciu Snehulienka v káve mala.

    2, Na koľko treba Snehulienku schladiť aby po vypití tejto kávy koncentrácia látky B neprekročila 0,00054 mol/l ??

    iteračne v exceli:
    T = 35 °C

    rýchlostné konštanty majú hodnoty
    k1 = 0,105 d-1
    k2 = 0,028 d-1

    koncentračný profil látky B prechádza pomerne plochým maximom približne 17ty – 18ty deň.

    ……………………

    Takže takto….

    Škoda, že sem nemôžem dať aj grafy, bolo by to názornejšie…

    Výpočet mám v exceli ak máte záujem napíšte pošlem.

    Red Sojuz

  2. Martin Foltin napísal:
    08. Máj, 2009 o 18:49

    Ahoj, kludne mi to posli a posunieme to autorovi clanku a ten sa k tomu moze vyjadrit. Zjavne si to skusal a asi to mas aj celkom dobre. Mame v zasobe este niekolko takychto uloh :)

  3. Red napísal:
    08. Máj, 2009 o 19:33

    Ahoj, na aky meil to poslať?

  4. Martin Foltin napísal:
    08. Máj, 2009 o 19:44

    Aha vidis. Asi by sme si mali spravit posterusacke mejly. Zatial mi to posli na foltin [at] syprin.sk

Napísať príspevok