Rezonančné LC-trojpóly ako impedančné transformátory

14. December, 2012, Autor článku: Milly Miron, Elektrotechnika
Ročník 5, číslo 12 This page as PDF Pridať príspevok

V príspevku sú analyzované transformačné vlastnosti paralelného rezonančného obvodu v stave rezonancie. Jedná sa o analýzu trojpólového riešenia paralelného rezonančného obvodu s rozdelenou jednou z jeho dvoch vetiev. Jedná sa o dva typy paralelných rezonančných obvodov: paralelný rezonančný obvod LC s rozdelenou kapacitou a paralelný rezonančný obvod LC s rozdelenou indukčnosťou bez vzájomnej magnetickej väzby.

1. Teoretický úvod

Jednoduchý sériový alebo paralelný rezonančný dvojpól LC je tvorený indukčnosťou L cievky (induktora) a kapacitou C kondenzátora (kapacitora) v sériovom alebo paralelnom zapojení. Privedením vonkajšieho harmonického elektrického napätia alebo prúdu o uhlovej frekvencii ωr = 1/LC na rezonančný dvojpól v príslušnom zapojení, dochádza v obvode k elektrickej rezonancii, ktorá sa pri rezonančnej frekvencii fr a v jej blízkom okolí prejavuje prudkým nárastom prúdu, tečúceho vnútorným okruhom rezonančného dvojpólu.

2. Rezonančný obvod ako impedančný transformátor

Ako je známe, impedancia jednoduchého paralelného rezonančného dvojpólu, pozostávajúceho z neideálnej cievky o indukčnosti L a neideálneho kondenzátora o kapacite C , má pri rezonančnej frekvencii f = fr charakter činného odporu o konečnej veľkosti, a to v dvoch možných vyjadreniach RLCs alebo RLCp , pričom jeho veľkosť do značnej miery závisí od veľkosti činných strát v cievke, v kondenzátore, ale aj vo feromagnetickom jadre cievky. Celkový sériový stratový odpor RLs bezjadrovej (vzduchovej, samonosnej) cievky závisí hlavne od veľkosti odporu elektrického vinutia RL cievky. Straty v kondenzátore sú dvojakého charakteru: stacionárneho a vysokofrekvenčného.

Podstatná časť strát je zapríčinená zvodovým odporom RC dielektrika medzi oboma pólmi kondenzátora, zvyšok strát je zapríčinený vysokofrekvenčnými stratami v dielektriku. Celkový stratový odpor kondenzátora sa však zvyčajne vyjadruje ekvivalentným (prepočítaným) náhradným sériovým stratovým odporom RCs , zapojeným do série s kapacitou C kondenzátora. Potom celkové straty v uzavretom reálnom rezonančnom obvode LC sú vyjadrené činným výkonom rozptýleným na celkovom sériovom stratovom odpore RLCs uzavretého rezonančného obvodu LC

Veľkosť tohto stratového odporu je daná súčtom celkového sériového stratového odporu RLs cievky a celkového sériového stratového odporu RCs kondenzátora, čiže RLCs = RLs + RCs. U bezjadrovej cievky a u cievky s ideálnym (bezstratovým) magnetickým jadrom sa hodnota odporu RLs rovná odporu RL vinutia cievky. Straty v kondenzátore sú v skutočnosti stratami v dielektriku. Celkový sériový stratový odpor RCs kondenzátora býva oveľa menší, než sériový stratový odpor RLs cievky a preto u vysoko-akostných rezonančných obvodov LC sa celkový sériový stratový odpor RLCs = RLs + RCs schematicky zakresľuje len do jednej z dvoch vetiev paralelného LC dvojpólu, teda do série s indukčnosťou L cievky,

kde: Lp je ekvivalentná indukčnosť náhradného paralelného rezonančného LC dvojpólu, Cp je ekvivalentná kapacita náhradného paralelného rezonančného LC dvojpólu, RLs je sériový stratový odpor vinutia cievky (induktora) o indukčnosti L, RLp je ekvivalentný paralelný stratový odpor cievky (induktora) o indukčnosti L, RCp je paralelný zvodový stratový odpor kondenzátora (kapacitora) o kapacite C, RCs je ekvivalentný sériový stratový odpor kondenzátora (kapacitora) o kapacite C, RLCs je ekvivalentný sériový stratový odpor náhradného paralelného LC dvojpólu, v stave rezonancie (nazývaný tiež sériový rezonančný odpor LC dvojpólu), RLCp je ekvivalentný paralelný stratový odpor náhradného paralelného LC dvojpólu, v stave rezonancie (nazývaný tiež paralelný rezonančný odpor LC dvojpólu).

Podmienkou rezonancie v uzavretom rezonančnom obvode je, aby:|XL|=|XC|, odkiaľ vyplýva:

\omega_r L = \frac{1}{\omega_r C} (1)

Potom pre vyjadrenie činiteľa akosti Qr rezonančného obvodu LC platia vzťahy [1], [3], [4]:

Q_r = \frac{\omega_r L}{R_{LCs}}=\frac{1}{\omega_r C R_{LCs}} alebo Q_r = \omega_r C R_{LCp}=\frac{R_{LCp}}{\omega_r L} (2)

pričom: 1/R_{LCp} = 1/R_{Lp}+1/R_{Cp}

Celkový činiteľ akosti Qr rezonančného obvodu LC je v prevažnej miere určený činiteľom akosti QL cievky. U kvalitne zhotovených cievok býva činiteľ akosti QL = ωrL/RL > 100.

Ak činiteľ akosti paralelného rezonančného obvodu dosahuje hodnoty Qr > 10 a ekvivalentná hodnota sériového náhradného stratového odporu RCs kondenzátora (kapacitora) o kapacite C je oveľa menšia, než hodnota RLs sériového stratového odporu vinutia cievky (induktora) o vlastnej indukčnosti L, (teda: RCs << RCs), potom pre ekvivalentné (prepočítané) hodnoty náhradných parametrov Lp a Cp uzavretého náhradného paralelného rezonančného obvodu s dostatočnou presnosťou platí: Lp=L, Cp=C. Vzájomným porovnaním všetkých štyroch vyjadrení činiteľa akosti Qr dostaneme dvojicu rovníc, ktorej riešením dospejeme k zaujímavým výsledkom [2]:

\omega_r CR_{LCp} = \frac{1}{\omega_r CR_{LCs}} = \frac{\omega_r L}{R_{LCs}}

odkiaľ:

R_{LCs}R_{LCp} = (\omega_r L)^2 = (1/\omega_r C)^2

a po úprave:

R_{LCp} = Q_r^2. R_{LCs} alebo R_{LCp} = L/CR_{LCs}

odkiaľ:

Q_r^2 = L/CR_{LCs}^2 (3)

Získali sme tak veľmi užitočné a univerzálne výpočtové vzorce, pomocou ktorých možno jednoduchým spôsobom, bez zložitých výpočtov a pomerne presne určiť jednak hodnotu činiteľa akosti Qr uzavretého náhradného sériového rezonančného obvodu typu LCRs v stave rezonancie, ako aj ekvivalentnú hodnotu stratového odporu RLCp uzavretého náhradného paralelného rezonančného obvodu typu LCRp, a to len na základe známych hodnôt spoločného ekvivalentného sériového stratového odporu RLCs (induktora, kapacitora, a ostatných – zvonku pripojených – elektronických prvkov rezistančného charakteru.

Pritom celkový sériový stratový odpor RLCs v sebe zahŕňa jednak vnútorné činné straty samotných elektronických súčiastok rezonančného okruhu (pasívne prvký typu R, L, C a magnetického jadra), ale rovnako aj činné straty všetkých ostatných pasívnych a aktívnych elektronických prvkov, ktoré sú k danému rezonančnému obvodu nejakým spôsobom pripojené. A to buď priamo (galvanicky), napríklad prostredníctvom rezistora, alebo kapacitne (dielektricky) prostredníctvom kapacitora, alebo nepriamo (napr. magneticky) prostredníctvom prídavného vinutia cievky v úlohe vzájomnej indukčnosti, prípadne pomocou spoločného zasúvateľného magnetického jadra vo vnútri dvoch vzájomne viazaných rezonančných LC obvodov.

3. Jednoduché rezonančné obvody typu LC

Okrem jednoduchého sériového a paralelného rezonančného dvojpólu typu LC sa častejšie používajú rezonančné LC obvody s rozdelenou kapacitou kondenzátora (2 kondenzátory zapojené v sérii), s rozdelenou indukčnosťou cievky (2 cievky zapojené v sérii), prípadne z jednej cievky, ktorá má na svojom vinutí vyvedené odbočky (napr. 1 cievka s 1 odbočkou) a s cievkou, ktorá má na spoločnom magnetickom jadre prídavné, galvanicky oddelené väzbové vinutie Lv (2 cievky na spoločnom magnetickom jadre). Uvedené usporiadania cievok a kondenzátorov v sériovom alebo paralelnom rezonančnom obvode sa používajú hlavne u oscilátorov typu LC . Zapojením takéhoto rezonančného trojpólu do obvodu s aktívnym prvkom sa do rezonančného obvodu vnášajú ďalšie činné straty, čím sa výsledná hodnota činiteľa akosti takejto rezonančnej sústavy ešte viac znižuje.

Preto sa pomer hodnôt indukčností L1 a L2, ako aj kapacít C1 a C2 volí tak, aby hodnota pomeru indukčností L1/L2 , alebo kapacít C2/C1, bola aspoň 3. V takomto prípade (ako to uvidíme vo 4. a 5. kapitole) sa činné (rezistančné) zložky pripojených vonkajších elektronických prvkov pretransformujú vzhľadom na hlavnú dvojicu pólov paralelného rezonančného obvodu, teda paralelne k rezonančnému odporu RLCp. Pri rezonančnej frekvencii fr a v blízkosti nej sa potom analýza takejto rezonančnej sústavy dá podstatne zjednodušiť. Navyše na vlastnosti rezonančného obvodu majú vplyv aj reaktančné zložky prvkov, ku ktorým je rezonančný obvod pripojený.

Tieto impedancie možno vhodným spôsobom pretransformovať vzhľadom na hlavnú dvojicu pólov paralelného rezonančného obvodu, a takýmto spôsobom ich zahrnúť do celkovej transformovanej impedancie \hat{Z}^T paralelného rezonančného obvodu. Takýto paralelný rezonančný obvod s vyvedenými prídavnými pólmi, ktorými je pripojený do obvodu s aktívnymi a pasívnymi prvkami (v našom prípade ide o paralelný rezonančný 3 pól) v skutočnosti predstavuje uzavretú rezonančnú sústavu so zahrnutými vplyvmi vonkajších elektronických prvkov a v stave rezonancie (f=fr) ho takýmto spôsobom možno využiť ako impedančný transformátor.

4. Rezonančný obvod LC s rozdelenou kapacitou

Pre ilustráciu analyzujme pomery na príklade paralelného rezonančného LC trojpólu s vyvedeným prídavným pólom v mieste rozdelenej kapacity (obr. 1).

Obr.1 Zapojenie paralelného rezonančného LC trojpólu s rozdelenou kapacitou C

Pre nezaťažený paralelný rezonančný LC trojpól s rozdelenou kapacitou C zaveďme transformačné (deliace) pomery:

p_{20}=\frac{U}{U_{20}}=\frac{1/j\omega C}{1/j\omega C_2}=\frac{C_2}{C} = \frac{C_1 + C_2}{C_1} = 1+ \frac{C_2}{C_1}

pričom

C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}, \; \omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Potom hodnotu činného odporu záťaže (rezistora Rz ktorý je pripojený k vyznačenej bráne rezonančného obvodu) možno pri rezonančnej frekvencii fr prepočítať vzhľadom na hlavnú dvojicu pólov paralelného rezonančného LC trojpólu a nahradiť ju transformovanou hodnotou RT podľa vzťahu v [1]:

R_T = p_{20}^2 R_Z (4)

Ak by sme napríklad zvolili pomer C2/C1=2, teda p20 = 1 + 2 = 3 , potom by p202= 9 , čo by znamenalo, že odpor Rz sa na vstupnú bránu pretransformuje až na hodnotu RT = 9 · Rz.

5. Rezonančný obvod LC s rozdelenou indukčnosťou (bez magnetickej väzby)

Obr.2 Zapojenie paralelného rezonančného LC trojpólu s rozdelenou indukčnosťou L

Podobným spôsobom možno vyjadriť deliace pomery aj pre nezaťažený paralelný rezonančný LC trojpól s vyvedeným prídavným pólom v mieste rozdelenej indukčnosti L bez magnetickej väzby (obr. 2):

p_{20}=\frac{U}{U_{20}}=\frac{j\omega L}{j\omega L_2}=\frac{L}{L_2} = \frac{L_1 + L_2}{L_2} = 1+ \frac{L_1}{L_2}

pričom

L = L_1 + L_2, \; \omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Potom pre transformovanú hodnotu RT odporu záťaže Rz vzhľadom na hlavnú dvojicu pólov rezonančného LC trojpólu pri rezonančnej frekvencii fr platí podľa [1] podobne:

R_T = p_{20}^2 R_Z (5)

Preto ak zvolíme pomer L1/L2=2, teda p20 = 1 + 2 = 3 , potom p202 = (1 + 2)2 = 32 = 9.

6. Záver

Z analýzy pomerov jednotlivých typov rezonančných obvodov vyplýva, že u rezonančných obvodov s rozdelenou kapacitou a rozdelenou indukčnosťou hodnota činného zaťažovacieho odporu Rz nemá vplyv na zmenu rezonančnej frekvencie fr , ale len na celkovú hodnotu odporu RT, prepočítanú vzhľadom na hlavnú dvojicu pólov paralelného rezonančného obvodu.

7. Zoznam bibliografických odkazov:

  1. ČAJKA, J.: Výpočet základních vysokofrekvenčných obvodů. Praha, SNTL 1956.
  2. EICHLER, J. – ŽALUD, V.: Selektivní radioelektronická zařízení. Praha, SNTL 1983.
  3. GVOZDIAK, L.: Základy elektrotechniky prenosu a spracovania správ. Bratislava, ALFA
  4. TRNKA, Z.: Teoretická elektrotechnika. Praha, SNTL – ALFA 1972.
Katedra F-M-T, FHPV-PU, Prešov

Napísať príspevok