Analytický opis kompaktovania pomocou SLAB metódy

30. December, 2009, Autor článku: Krok Alexander, Strojárstvo
Ročník 2, číslo 12 Pridať príspevok

V predkladanom príspevku sa budeme bližšie zaoberať teoretickým opisom kompaktovania partikulárnych látok, ktorý zahŕňame do skupiny procesov kde dochádza k zmene štruktúry východiskovej látky vplyvom určitých fyzikálnych, či fyzikálno-chemických dejov. Takéto procesy nazývame aglomeračné procesy. Je to komplikovaný problém, pretože správanie sa partikulárneho materiálu nie je možné jednoznačne opísať.

Jedným z uznávaných priekopníkov v tejto oblasti je J. R. Johanson [1,2]. Je to jeden z autorov, ktorý ponúka teoretický model, ktorým je možne tento proces opísať. Ukázalo sa, že tento jednorozmerný model je veľmi výhodný aj pre prax. No niektoré efekty ktoré pri tomto procese vznikajú, však Johansonov model odhaliť nedokáže. Ak samotný proces zhusťovania rozdelíme na tri nie príliš ostro oddelené oblasti, potom v prvej dochádza k vzájomnému posúvaniu a usporiadaniu častíc medzi sebou. V druhej oblasti je relatívny posuv častíc už silne obmedzený, čo vedie k ich elastickej a plastickej deformácii. A v tretej oblasti dochádza u húževnatých materiálov prevažne k plastickej deformácii a u krehkých materiálov k lomu, drveniu častíc. Johansonov model uvažuje len o dvoch takýchto častiach. V prvej tzv. zóne nad uhlom zaklinenia sa predpokladá, že do určitého uhla sa materiál pohybuje pomalšie ako valce a v tej druhej tzv. zóne pod uhlom zaklinenia je situácia opačná.

Jednorozmerný model, ktorý delí zhutňovaný priestor na tri zóny je možné získať úpravou niektorých metód, ktoré sa často používajú pri opise tvárniacich procesov. Jednou z takých metód je aj slab metóda [3]. Táto metóda sa používa najmä pri opise procesov, kedy zhutňovaným materiálom je pevná látka a trecie sily, ktoré počas namáhania materiálu vznikajú sa prejavujú len pri určitom gradiente rýchlosti. Ak je materiál v kľude, vyvolané trecie sily zanikajú. Pri sypkých látkach je situácia trochu iná, pretože trecie sily pôsobia stále, a sú len málo závisle od gradientu rýchlosti vyvolaného pohybom materiálu. Preto je potrebné pozmeniť slab metódu o rovnicu, ktorá dokáže takéto partikulárne materiály opísať.

Obr. 1. Označenie oblasti zaklinenia a uhlov medzi valcami

Johansonov model

Jeho jednorozmerný matematický model vyjadruje vzťah medzi materiálovými vlastnosťami, rozmermi kompaktora a prevádzkovými podmienkami. Pri návrhu kompaktora sa predpokladá, že tlak a teplota potrebné na skompaktovanie sú známe z predchádzajúcich štúdií. Matematický model dáva odpoveď na otázku, aké majú byť rozmery kompaktora a sily medzi valcami, aby sa dosiahol požadovaný tlak pre určitý materiál pri danej teplote. Predpokladá sa, že materiál je izotropný, stlačiteľný a taktiež sa správa podľa funkcie efektívneho toku navrhnutej Jenikem a Shieldom [4]. Funkcia efektívneho toku pre rovinnú napätosť, s ktorou sa uvažuje pri kompaktovaní medzi valcami je kompletne popísaná efektívnym uhlom vnútorného trenia δ a vonkajším uhlom trenia $\varphi$ .

Obr. 2. Grafická interpretácia efektívneho toku pre rovinnú napätosť

Táto funkcia je graficky prezentovaná na obrázku 2. Vzťah medzi tangenciálnymi a normálovými silami na povrchu valcov je daný vonkajším uhlom trenia. Šmykové napätie a normálové napätie na povrchu valcov je popísané bodom A.

Obr. 3. Určenie uhla zaklinenia

Pre výpočty je vhodnejšie použiť uhol $\lambda$ medzi dotyčnicou k povrchu valca a smernicou hlavného napätia $\sigma _1$ . Uhol $\lambda$ je z geometrie daný:

$2 \lambda = \pi - \arcsin \frac{\sin \varphi _w}{\sin \delta} - \varphi _w$

(1)

Uhol zaklinenia, ktorý sme spomínali v úvode je prvým krokom pre návrh kompaktora podľa Johansonovej teórie a zisťuje sa numerickým riešením. Grafickú interpretáciu výpočtu je vidieť v obrázku č. 4. Rozloženie napätia medzi valcami nad uhlom zaklinenia sa dá vypočítať kombináciou rovníc rovnováhy elementu partikulárnej látky a rovníc medzného stavu za predpokladu, že hraničné podmienky sú dané [5]. Trenie na povrchu valcov spolu s veľkosťou a umiestnením tlaku p₀ sú postačujúce hraničné podmienky pre určenie napäťovej distribúcie. Na to aby sme vedeli vypočítať celkovú rozpernú silu F a krútiaci moment M_k bolo treba poznať geometrické rozmery t.j. s/D, d/D, B, ale tiež koeficient stlačiteľnosti K, uhol zaklinenia $\alpha _N$ a maximálny horizontálny tlak.

Obr. 4. Výpočet priemeru valcov

Obr. 5. Graficky priebeh zmeny rozperznej sily od uhla valcovania

Tento model je možné podľa potreby upraviť [6, 7]. To znamená, že ak potrebujeme poznať vplyv núteného plnenia na daný proces, stačí upraviť rovnicu pre mechanické zosilnenie tlaku na vstupe a skombinovať ju s rovnicami rovnováhy pre uvažovaný element (obr. č. 5).

$\frac{p_m}{p_0} \frac{1 + \sin \delta}{1 - \sin \delta} = R_1 (\alpha _N) \frac{\sigma _{\phi}}{\sigma _{\alpha}} (\alpha _N, K) = konst.$

(2)

$\frac{p_m}{p_0} = hodnota \times uhol (\phi)$

(3)

$\frac{d}{d \phi} \Bigg [ \ln \Bigg ( \frac{konst.}{\frac{\sigma _{\phi}}{\sigma _{\alpha} } (\alpha _N, K) } \Bigg ) \phi \Bigg ] = \frac{d \Big ( \frac{1}{R_1 (\alpha _N)} \Big ) }{d \phi} = \ln \frac{d \sigma _{\phi}}{d \phi}$

(4)

Slab metóda

Základné rysy modelu navrhol Von Karman [8]. Vo svojom modeli uvažuje, že na materiál pohybujúci sa v radiálnom smere medzi dvoma pohybujúcimi sa valcami pôsobí len vertikálne a horizontálne napätie, a že materiál pozdĺž celej zhusťovanej zóny podlieha rovnakým silovým účinkom. I napriek všetkým skutočnostiam, ktoré tento autor nezahrnul do celkového opisu skúmaného procesu, môžme povedať, že jeho metodika vytvoreného modelu bola zaujímavá pre mnohých autorov a o pár rokov neskôr pán Orown [9] tento model upravil a doplnil o účinky vzniknuté dôsledkom trenia. Zorowski a Shutt [10] správnou voľbou okrajových podmienok rozdelili zhusťovaný priestor na tri časti a ďalšie úsilie pri skúmaní modelu kládli najmä druhej zóne, kde dochádza k eleasticko – plastickej deformácii.

Matematický model, ktorý použijeme predpokladá, že pohybujúce sa valce sú upevnené a partikulárny materiál podlieha len rovinnej deformácii. Šmykové trecie napätie nie je pozdĺž kontaktu rovnaké a účinky, ktoré sa v jednotlivých zónach prejavujú, ako i samotná poloha každého elementu v tomto priestore, sa zohľadní v okrajových podmienkach.

Obr. 6. Rozloženie silových účinkov v zhutňovanom priestore

Pri zostavovaní modelu uvažujeme, že kým je materiál v násypke, nie je ovplyvňovaný žiadnymi silovými účinkami, okrem gravitačnej sily. Na obrázku č. 6 sú vykreslené silové účinky, ktoré na materiál pôsobia ak sa materiál už v násypke nenachádza, ale celý sa presunul do zhutňovaného priestoru. Je to predovšetkým priemerné normálové napätie, šmykové napätie a vnútorný moment. Z bilancie týchto síl a následnej úprave dostávame súbor troch rovníc, ktoré proces stláčania opisujú.

$\frac{d (hq)}{d x} + (p_1 + p_2) \tan \phi - (\tau _1 + \tau _2) = 0$

(5)

$\frac{d (h \tau)}{d x} + (p_2 - p_1) \tan \phi - (\tau _2 - \tau _1) = 0$

(6)

$\frac{d M}{d x} + \frac{h}{2} [(p_2 - p_1) \tan \phi - (\tau _1 + \tau _2) + 2 \tau ] = 0$

(7)

$h = h_0 + \frac{x_2}{R}$

(8)

$\frac{d h}{d x} = \frac{2 x}{R}$

(9)

$\tan \phi = \frac{x}{R}$

(10)

$p = \frac{(p_1 + p_2)}{2}$

(11)

$\Delta = p_2 - p_1$

(12)

$\tau _e = \tau _2 + \tau _1$

(13)

$\tau _e' = \tau _2 - \tau _1$

(14)

Zavedením pomocných premenných (rovnice č. 8-14) a geometrie skúmaného elementu môžme rovnice 5-7 prepísať do tvaru:

$\frac{d q}{d x} = - \frac{p + q}{h} \frac{2 x}{R} + \frac{\tau _e}{h}$

(15)

$\frac{d (h \tau)}{d x} = - \Delta - \tau _e' \frac{x}{R}$

(16)

$\frac{d M}{d x} = - \frac{h}{2} \big ( \Delta \frac{x}{R} - \tau _e' + 2 \tau \big )$

(17)

Aby bol matematický model pre opis valcového kompaktovania partikulárnych látok kompletný, je potrebné do systému týchto troch rovníc dodať poslednú štvrtú rovnicu, ktorá zohľadňuje správanie sa materiálu. Y. M. Hwang [11] používa pri skúmaní tohto procesu tuhú látku. Ako sme spomínali aj v úvode, trecie sily pri takýchto materiáloch sa prejavujú len v prípade, že sa tento materiál pohybuje a na opis jeho napäťového stavu môžme použiť Von Missesovo kritérium. V prípade, že pracujeme s partikulárnou látkou, situácia je trochu iná. Vtedy napäťový stav látky nezávisí od gradientu rýchlosti pohybujúceho sa materiálu a preto je vhodné v tomto prípade použiť Mohr-Coulumbovo kritérium plasticity. Moderný zápis Coulombovo kritéria určuje maximálne šmykové napätie, ktoré materiál môže zniesť bez porušenia.

$\mid \tau _u \mid = \bar{c_0} \pm \sigma _n \tan (\phi ^*)$

(18)

Mohr-Coulombovo kritérium porušenia materiálu z fyzikálneho hľadiska predstavuje aplikáciu Coulombovo kritéria v takom reze elementárneho hranola reprezentujúceho 2D napätosť v bode telesa, kde toto kritérium nadobudne extrém. Pri jeho odvodení sa využíva geometrická reprezentácia 2D napätosti v bode telesa pomocou Mohrových kružníc.

Obr. 7. Napäťový stav
a) rovina rezu elementárneho hranola

Obr. 7. Napäťový stav
b) Mohr-Coulumbova plocha plasticity

Normálovú a šmykovú zložku napätia v reze elementárneho hranola (Obr. 7a) definovaného uhlom $\varphi$ alebo doplnkovým uhlom $\alpha$ , kde určíme pomocou Mohrových kružníc napätia a hlavných napätí $\sigma _{max}$ , $\sigma _{min}$ , kde $\sigma _{max} = \sigma _i$ , $\sigma _{min} = \sigma _j$ , $i \neq j = 1,2,3$ ako

$\sigma _n = \frac{\sigma _{max} + \sigma _{min}}{2} - \frac{\sigma _{max} - \sigma _{min}}{2} \cos (2 \alpha)$

(19)

$\tau _u = \frac{\sigma _{max} - \sigma _{min}}{2} \sin (2 \alpha)$

(20)

Úpravami týchto rovníc získame všeobecnú plochu plasticity.

$f (^{123} \sigma , V) = (\sigma _{max} - \sigma _{min}) +$
$+ (\sigma _{max} + \sigma _{min}) \sin (\phi) - 2 \bar{c_0} \cos (\phi) = 0$	(21)

Pri zostavovaní štvrtej rovnice vychádzame z predpokladu, že zhutňovaný priestor rozdelíme na tri časti ako je to ilustrované aj na obr. 8. a pre každý element zakreslíme jednotlivé normálové a šmykové zložky napätia.

Obr. 8. Rozloženie zložiek normálového a šmykového napätia v jednotlivých elementoch skúmaného priestoru

Následne z bilancie týchto zložiek získavame tieto rovnice:

$\sigma _{y1} - \sigma _{x1} = (p_1 + \sigma _{x1}) (\tan ^2 \phi - 1 ) - 2 \tau _1 \tan \phi$

(22)

$\sigma _{y2} - \sigma _{x2} = (p_2 + \sigma _{x2}) (\tan ^2 \phi - 1 ) - 2 \tau _2 \tan \phi$

(23)

Ak rovnice č. 22, 23 sčítame a vynásobíme (1/2) dostaneme vzťah medzi priemerným normálovým a šmykovým napätím v zložkovom tvare. V poslednom kroku stačí v tomto vzťahu nahradiť člen $\tan \phi$ za x/R a získame tak rovnicu 24.

$\bar{\sigma _x} - \bar{\sigma _y} = p + \bar{\sigma _x} + (\tau _1 + \tau _2) \frac{x}{R}$

(24)

Podľa Von Misesovej podmienky plasticity, ľavú stranu rovnice 24 môžme napísať aj v tomto tvare:

$\bar{\sigma _x} - \bar{\sigma _y} = 2 k \sqrt{1 - ( \frac{\tau}{k} ) ^2 }$

(25)

A kombináciou týchto dvoch vzťahov získavame poslednú štvrtú rovnicu, ktorú pri riešení modelu potrebujeme.

$p + q = 2 k \big [ 1 -\frac{1}{2} \big ( \frac{\tau}{k} \big ) ^2 \big ] - \tau _e \frac{x}{R}$

(26)

V našom prípade rovnicu 26 je potrebné nahradiť napríklad Morh-Coulombovým kritériom plasticity a teda štvrtá rovnica bude mať tvar:

$p + q = \frac{2 \bar{c_0} \cos \phi}{1 + \sin \phi} + \frac{1 - \sin \phi}{1 + \sin \phi} - \tau _e \frac{x}{R}$

(27)

Na obrázku č. 9 sú zobrazené vypočítané priebehy priemerného šmykového a normálového napätia pozdĺž kontaktu závisle od zmeny rýchlosti pohybujúcich sa valcov.

Obr. 9a. Vypočítaný priebeh priemerného šmykového napätia pozdĺž kontaktu

Obr. 9b. Vypočítaný priebeh priemerného normálového napätia pozdĺž kontaktu

Obr. 10. Vypočítaný priebeh tlaku pozdľž kontaktu v závislosti od trenia

Obr. 11. Vypočítaný priebeh tlaku pozdľž kontaktu v závislosti zmeny rýchlosti pohybujúcich sa valcov

Záver

V prvej časti tohto príspevku sme opísali metodiku výpočtu Johansonovho modelu a zhŕnuli výsledky, ktoré boli detailnejšie opísane v článkoch [6, 7]. V druhej časti sme pozornosť venovali najmä tzv. slab metode a ukázali sme, aky ma vplyv na opis skumaného procesu použitý materiál. Výpočty boli uskutočnené v komerčnom výpočtovom balíku Mathworks Matlab, ale len pre prípad kedy sa materiál sprava podľa Von Missesovho kritéria plasticity. V prípade, kedy je materiálom partikulárna látka, sa výpočet zatiaľ neuskutočnil, ale bola navrhnutá rovnica, ktorá túto skutočnosť do modelu zahrnie.

Tento príspevok vznikol za podpory Vedeckej grantovej agentúry MŠ SR a SAV pri riešení výskumného projektu VEGA č. 1/4090/07.

Zoznam symbolov

Index symbol

q	priemerné normálové horizontálne napätie	(Pa)
h	hrúbka zhusťovaného materiálu
$\tau$	priemerné vnútorné šmykové napätie	(Pa)
M	priemerný krútiaci moment	(Pa.s)
p₁, p₂	tlaky na obvode valcov	(Pa)
$\phi$	kontaktný uhol	(rad)
$\tau _1 , \tau _2$	trecie napätia	(Pa)

Použitá literatúra

J. R. Johanson, Factors influencing the design of roll-type briquetting presses. In Proceedings of 9-th Biennal Briquetting Conference, pages 17-31, Denver, Colorado, USA, 1965
J. R. Johanson, A rolling theory for granular solids. Journal of Applied Mechanics, pages 842-848, 1965
J. Petruželka, J. Hrubý, Výpočetní metody ve tvářnení. Technická univerzita. Ostrava, 2002
A. W. Jenike – R. T. Shield, On the plastic flow of coulomb solids beyond original failure. Journal of Applied Mechanics, pages 26, 1959
M. Hubert, Aplikácia rovníc stlačiteľnosti v teórii návrhu kompaktora, Dizertačná práca, SjF STU Bratislava 2000
A. Krok – M. Peciar, Experimental validation of rolling theory for granular solids. 10-th international scientific conference mechanical ingineering , Bratislava, SLOVAKIA, 2007
A. Krok – M. Peciar, Influence of forced material in roller compactor parameters. 11-th international scientific conference mechanical ingineering , Bratislava, SLOVAKIA, 2008
Th. Von Karman, Beitrag zur Theories des Walzvorgangs, Z. ang. Mech., 5 (1925) 139-141
E. Orowan, The calculation of rollpressure in hot and cold flat rolling, Proc. Instn. Mech. Engrs., 150 (1943) 191
C. F. Zorowski and A. Shutt, Analysis of the load and torque characteristics of single-roll mills, Int. Res. Prod. Eng., (1963) 380-387
Y. M. Hwang and G. Y. Tzou. An analytical approach to asymmetrical hot strip rolling by slab method, Proc. 16th Conf. on Theo. Appl. Mech., Taiwan, ROC (1992) 579-586

Spoluautor tohto článku je Marián Peciar, Slovenská technická univerzita, Strojnícka fakulta, Námestie slobody 17, 812 31 Bratislava 1.

O časopise

Meta

RSS

Analytický opis kompaktovania pomocou SLAB metódy

Napísať príspevok

Rubriky

Burza práce

Štúdijné materiály

Archív